Classification des systèmes d’équations linéaires

équations linéaires décrivent des lignes droites ou des surfaces multidimensionnelles plats . Systèmes d’équations linéaires sont des ensembles d’équations linéaires . Ils sont présents dans de nombreuses disciplines universitaires et techniques . Équations linéaires sont utilisés dans les statistiques , de l’ingénierie , de la physique , de la finance et de l’économie . Un système donné d’équations linéaires peut tomber dans une des trois catégories . Pour les fins du présent article , le système à deux dimensions suivant sera utilisé à titre d’exemple :

4x + 5y = 1
4x – 2y = 2 équations linéaires nomenclature

le rang d’un système d’équations linéaires est le nombre de lignes linéairement indépendantes ou des colonnes de la matrice des coefficients de ce système . La matrice de coefficients est une grille des nombres qui précèdent les variables du système . Dans notre exemple , la matrice des coefficients serait :

4 5

4 -2

Pour une ligne ( ou colonne ) soient linéairement indépendants d’une autre rangée ( ou colonne ) , ce doit être le cas que d’une ligne ( ou colonne ) ne peuvent pas être produits par une combinaison linéaire d’une autre rangée ( ou colonne ) . Vous ne devriez pas être en mesure de multiples tous les éléments de la ligne 1 par un numéro unique pour obtenir la ligne 2 Vous pouvez voir que toutes les colonnes de notre exemple coefficients de la matrice sont linéairement indépendants car il n’existe pas de numéro unique qui nous permettrait de multiplier 4 pour obtenir 5 et -2 . Vous pouvez également voir que les lignes dans notre exemple de matrice sont linéairement indépendants . Il n’existe pas de nombre unique que lorsqu’il est multiplié par 4 produit 4 , et lorsqu’il est multiplié par 5 produit -2 . Cela signifie que le rang de notre exemple de système est 2.

La matrice augmentée est une combinaison de la matrice de coefficients et le vecteur solution . Dans notre exemple, la matrice augmentée serait :

4 5 1

4 -2 2

Parce que cette matrice a deux lignes , la valeur la plus élevée du rang de la matrice augmentée peut éventuellement être est 2 donc , pour cet exemple , le rang de la matrice augmentée est égal au rang de la matrice des coefficients .
Élargissement du système

dans notre système d’équations exemple , il ya seulement deux variables . Les équations décrivent des lignes dans l’espace à deux dimensions. Si nous devions ajouter un autre ensemble de variables les équations ne décrivent avions dans l’espace en trois dimensions . Ceci peut être étendu à plusieurs dimensions . Au lieu de penser en termes de systèmes avec un nombre quelconque de variables , nous pouvons penser en termes d’un système générique à n variables . Cela nous permet de classer les propriétés générales de tous les systèmes d’équations quel que soit le nombre de variables dans le système .
No Solution

Si le rang de la matrice de coefficients n’est pas égal au rang de la matrice augmentée , il n’y a pas de solution. Il n’existe pas d’ensemble unique de valeurs qui remplit les conditions décrites dans le système d’équations . Le système d’équations ne peut pas être résolu. Si le système ne peut pas être résolu , le système est dit être incompatibles .
Une solution unique

Il ya un ensemble unique , unique de solutions pour le système d’équations si le rang de la matrice de coefficients est égal au rang de la matrice augmentée et ils sont tous les deux égaux au nombre de colonnes de la matrice des coefficients . Il s’agit d’un ensemble unique de valeurs qui remplit les conditions décrites par le système d’équations . Si il est une solution unique , le système est dit indépendant .
Un Infini Nombre de Solutions

Le système d’équations a un nombre infini de solutions si les rang de la matrice des coefficients est égale au rang de la matrice augmentée et ils sont à la fois moins que le nombre de lignes de la matrice des coefficients . Thiere est un ensemble de valeurs infiniment grand qui remplissent les conditions décrites par le système d’équations . Si il ya un nombre infini de solutions , le système est dite dépendante .